Suporte phpBB

Para evitar confusão.

Link de onde esta hospedado atualmente seu forum?

Link do seu forum?

Então, cada servidor tem seu próprio DNS, se você mudar de hospedagem precisa alterar.
Em algum lugar está hospedagem deve mostrar, no seu cpanel ou em algum tutorial ou coisa parecida.
Onde está hospedado atualmente?

Este cpanel é da hostinger?

Onde você está hospedando seu forum?

Tenha em mãos o backup dos arquivos e BD.

O que você vai ter que fazer é alterar o DNS no site responsável por isto.

Na hostinger tem um serviço para transferir a administração para eles.

Se você tiver alguma duvida manda MP que eu te ajudo.

Hostinger pra mim é a melhor do mercado, comece com o básico e se precisar vai fazendo ipgrade

Sim o mailphp esta habilitado. Obviamente não abusar de envio de e-mail em massa, fora isto ta tudo bem.

Tem estas opções

https://www.hostinger.com/br/hospedagem-de-sites

Aqui e nos meus sites uso este

https://www.hostinger.com/br/pro

Preços em BRL, não sei como é em EURO, e o hPanel é bem fácil de usar

Isto mesmo

Salve em um arquivo teste_email.php, envie para a raiz do seu site e rode no navegador.
Altere onde indicado para testar o envio do email

<?php
// Configurações do e-mail
$para = "seu_email@exemplo.com"; // E-mail do destinatário
$assunto = "Teste da função mail() do PHP";
$mensagem = "Olá! Este é ...